Πότε έχουμε αόριστη εξίσωση

Στα μαθηματικά, κατά τη διαδικασία επίλυσης εξίσωσης, υπάρχει περίπτωση να καταλήξουμε σε σχέση που είναι πάντα αληθής, ανεξάρτητα από την τιμή της μεταβλητής. Αυτή η εξίσωση είναι γνωστή ως αόριστη εξίσωση ή ταυτότητα. Τέτοιες εξισώσεις έχουν άπειρες λύσεις, γιατί ισχύουν για κάθε τιμή της μεταβλητής.


Τι Είναι η Αόριστη Εξίσωση;

Μια εξίσωση θεωρείται αόριστη όταν, κατά την επίλυσή της, καταλήγουμε σε μια ταυτοτική σχέση, όπως 0x=0 ή 5=5, που είναι πάντα αληθής. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει καμία συγκεκριμένη τιμή για τη μεταβλητή, γιατί όλες οι τιμές ικανοποιούν την εξίσωση.

Για παράδειγμα:

  • 0x= 0
  • x+y=x+y

Σε αυτές τις περιπτώσεις, οποιαδήποτε τιμή της μεταβλητής (ή των μεταβλητών) ικανοποιεί την εξίσωση.


Παραδείγματα Αόριστων Εξισώσεων

Παράδειγμα 1:

Έστω η εξίσωση:

2x+4=2(x+2)

Αν αναπτύξουμε το δεύτερο μέλος:

2x+4=2x+4

Αν αφαιρέσουμε 2x και από τις δύο πλευρές:

4=4

Αυτή είναι μια ταυτότητα, που σημαίνει ότι η εξίσωση είναι αληθής για οποιαδήποτε τιμή του x. Άρα, η εξίσωση είναι αόριστη.

Παράδειγμα 2:

Έστω η εξίσωση:

0x=0

Ο πολλαπλασιασμός του μηδενός με οποιονδήποτε αριθμό δίνει πάντα 00. Επομένως, αυτή η σχέση είναι πάντα αληθής, ανεξάρτητα από την τιμή του xx. Η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις και είναι αόριστη.

Παράδειγμα 3 (Γραμμικά Συστήματα):

Στο σύστημα εξισώσεων:

x+y=4

2(x+y)=8

Αν πολλαπλασιάσουμε την πρώτη εξίσωση με 2, παίρνουμε:

2(x+y)=8

Αυτό είναι το ίδιο με τη δεύτερη εξίσωση. Επομένως, οι δύο εξισώσεις είναι εξαρτημένες και το σύστημα έχει άπειρες λύσεις.


Χαρακτηριστικά της Αόριστης Εξίσωσης

  1. Ταυτότητες: Οι αόριστες εξισώσεις καταλήγουν πάντα σε σχέσεις, όπως 0x=0 ή 3=3
  2. Άπειρες Λύσεις: Κάθε δυνατή τιμή της μεταβλητής (ή των μεταβλητών) ικανοποιεί την εξίσωση.
  3. Γραφική Ερμηνεία: Στη γραφική παράσταση, οι αόριστες εξισώσεις αντιστοιχούν σε γραμμές που συμπίπτουν πλήρως ή σε σημεία που αποτελούν σύνολο άπειρων λύσεων.

Διαφορά με τις Αδύνατες Εξισώσεις

Είναι σημαντικό να διαχωρίσουμε τις αόριστες εξισώσεις από τις αδύνατες εξισώσεις:

  • Οι αδύνατες εξισώσεις δεν έχουν λύση, επειδή καταλήγουν σε αντίφαση (π.χ. 3=5 ή 0x=7).
  • Οι αόριστες εξισώσεις έχουν άπειρες λύσεις, επειδή καταλήγουν σε ταυτότητα (π.χ. 0x=0 ή 4=4).

Συμπεράσματα

Οι αόριστες εξισώσεις είναι σημαντικές στα μαθηματικά, γιατί δείχνουν περιπτώσεις όπου μια εξίσωση ισχύει ανεξαρτήτως των τιμών των μεταβλητών. Η κατανόηση τους μας βοηθά να ξεχωρίζουμε τα συστήματα με μοναδική λύση, άπειρες λύσεις ή χωρίς καμία λύση.

Η κατηγοριοποίηση των εξισώσεων (αόριστες, αδύνατες, κανονικές) είναι βασικό κομμάτι της μαθηματικής ανάλυσης και εργαλείο για την κατανόηση σύνθετων προβλημάτων.


Μοιράσου το άρθρο:


A side profile of a woman in a russet-colored turtleneck and white bag. She looks up with her eyes closed.

“Γράψε μου παρακάτω σε ένα σχόλιο οποιαδήποτε απορία σου και θα σου απαντήσω άμεσα!”

— Χριστίνα, Μαθηματικός

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *