Πως βρίσκω το πεδίο ορισμού

Πεδίο Ορισμού Μιας Συνάρτησης

Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης αναφέρεται σε «όλες τις τιμές» που μπορούν να εισαχθούν σε μια συνάρτηση χωρίς να προκύψουν μη ορισμένες τιμές. Δηλαδή, το πεδίο ορισμού στα μαθηματικά είναι το σύνολο όλων των πιθανών εισόδων για τη συνάρτηση.

Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση f(x) = 2x. Βάζοντας τις τιμές x = \{1, 2, 3, 4, \dots\}, το πεδίο ορισμού είναι απλά το σύνολο των φυσικών αριθμών. Ωστόσο, γενικά (αν δεν οριστεί ρητά το πεδίο ορισμού ως φυσικοί αριθμοί), η συνάρτηση f(x) = 2x ορίζεται για όλες τις πραγματικές τιμές του x, άρα το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών, το οποίο συμβολίζεται με (-\infty, \infty).

Ακολουθούν οι γενικοί κανόνες που χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό του πεδίου ορισμού διαφορετικών τύπων συναρτήσεων. Εδώ το R είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών.

  1. Το πεδίο ορισμού κάθε πολυωνυμικής (γραμμικής, τετραγωνικής, κυβικής κ.λπ.) συνάρτησης είναι \mathbb{R} (όλοι οι πραγματικοί αριθμοί).
  2. Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης τετραγωνικής ρίζας \sqrt{x} είναι x \geq 0.
  3. Το πεδίο ορισμού μιας εκθετικής συνάρτησης είναι \mathbb{R}.
  4. Το πεδίο ορισμού μιας λογαριθμικής συνάρτησης είναι x > 0.
  5. Για τον καθορισμό του πεδίου ορισμού μιας ρητής συνάρτησης y = f(x), θέτουμε τον παρονομαστή \neq 0.
Πως βρίσκω το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης;

Για να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης, απλά εφαρμόζουμε έναν από τους παραπάνω κανόνες, ανάλογα με τον τύπο της συνάρτησης. Εδώ είναι μερικά παραδείγματα:

Παράδειγμα 1:
Για να βρούμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x) = \sqrt{x + 2}, εφαρμόζουμε τον κανόνα 2 που αναφέρεται παραπάνω.Τότε έχουμε:

x + 2 \geq 0.

Λύνοντας αυτή την ανίσωση, παίρνουμε:

x \geq -2.

Επομένως, το πεδίο ορισμού της f(x) είναι [-2, \infty).

Παράδειγμα 2:
Για να υπολογίσουμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g(x) = \dfrac{2x + 1}{x – 2}, εφαρμόζουμε τον κανόνα 5 που αναφέρεται παραπάνω. Τότε έχουμε:x – 2 \neq 0.

Λύνοντας αυτό, παίρνουμε:

x \neq 2.

Επομένως, το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών εκτός του 2, που σε συμβολισμό διαστημάτων γράφεται ως (-\infty, 2) \cup (2, \infty).

Παράδειγμα 3:Ας υπολογίσουμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης h(x) = 2 – \sqrt{-3x + 2}.

Για το πεδίο ορισμού, η τετραγωνική ρίζα ορίζεται μόνο όταν η τιμή στο εσωτερικό της είναι μη αρνητική. Έτσι, έχουμε:

-3x + 2 \geq 0.

Λύνοντας αυτή την ανίσωση:

-3x \geq -2,

x \leq \frac{2}{3}.

Επομένως, το πεδίο ορισμού της h(x) είναι (-\infty, \frac{2}{3}].

Πεδίο Ορισμού από Γράφημα

Είναι πολύ εύκολο να βρούμε το πεδίο ορισμού από ένα γράφημα. Το σύνολο των τιμών του x που καλύπτονται από το γράφημα δίνει το πεδίο ορισμού. Ωστόσο, πρέπει να σημειώσουμε τα εξής όταν γράφουμε το πεδίο ορισμού από ένα γράφημα:

  1.  Αν υπάρχει κάποια «τρύπα» στο γράφημα, τότε οι συντεταγμένες αυτής της τρύπας δεν πρέπει να περιλαμβάνονται στο πεδίο ορισμού.
  2. Αν υπάρχει κατακόρυφη ασύμπτωτη, τότε η αντίστοιχη τιμή του x δεν πρέπει να περιλαμβάνεται στο πεδίο ορισμού.
  3. Αν το γράφημα είναι σπασμένο σε κομμάτια, τότε παίρνουμε πολλαπλά σύνολα/διαστήματα στο πεδίο ορισμού και ενώνουμε όλα αυτά τα σύνολα/διαστήματα με το σύμβολο της ένωσης \cup.
  4. Αν υπάρχει βέλος στο τέλος μιας καμπύλης, τότε σημαίνει ότι η καμπύλη επεκτείνεται άπειρα προς την αντίστοιχη κατεύθυνση.
Παράδειγμα 1:
Ακολουθεί ένα παράδειγμα γραφήματος όπου θα βρούμε το πεδίο ορισμού:πεδίο ορισμού από γραφική παράστασηΣτο παραπάνω γράφημα:

Όλες οι τιμές του x από -\infty έως \infty καλύπτονται από το γράφημα (λόγω των βελών, οι δύο καμπύλες εκτείνονται άπειρα στις δεδομένες κατευθύνσεις). Επομένως, το πεδίο ορισμού είναι (-\infty, \infty).

Παράδειγμα 2:
Ακολουθεί ένα παράδειγμα γραφήματος όμοιου του προηγούμενου παραδείγματος με μία σημαντική διαφορά:πεδίο ορισμού από γραφική παράσταση 2 

Στο παραπάνω γράφημα:

Όλες οι τιμές του x από το -4 έως \infty καλύπτονται από το γράφημα ( στη θέση -4 υπάρχει σημελιο και όχι βέλος). Επομένως, το πεδίο ορισμού είναι (-4, \infty).


Μοιράσου το άρθρο:


A side profile of a woman in a russet-colored turtleneck and white bag. She looks up with her eyes closed.

“Γράψε μου παρακάτω σε ένα σχόλιο οποιαδήποτε απορία σου και θα σου απαντήσω άμεσα!”

— Χριστίνα, Μαθηματικός

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *