Το περικέντρο ενός τριγώνου είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των πλευρών του. Οι μεσοκάθετοι είναι ευθείες που περνούν από τα μέσα των πλευρών του τριγώνου και είναι κάθετες σε αυτές. Το περικέντρο αποτελεί το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου, δηλαδή του κύκλου που διέρχεται από όλες τις κορυφές του τριγώνου.
Ιδιότητες του Περικέντρου
- Ίση απόσταση από τις κορυφές
Το περικέντρο απέχει ίση απόσταση από όλες τις κορυφές του τριγώνου. Δηλαδή:
ΟΑ = ΟΒ = ΟΓ ,
όπου Ο είναι το περικέντρο και Α, Β, C οι κορυφές και τα διακκεκομένα μπλε ευθύγραμμα τμήματα είναι τα ΟΑ, ΟΒ και ΟΓ. - Κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου
Το περικέντρο είναι το κέντρο του κύκλου που περνά από τις κορυφές Α, Β, C και έχει ακτίνα r :
r = ΟΑ = ΟΒ = ΟΓ . - Τοποθεσία του Περικέντρου
- Σε οξυγώνιο τρίγωνο, το περικέντρο βρίσκεται μέσα στο τρίγωνο.
- Σε αμβλυγώνιο τρίγωνο, το περικέντρο βρίσκεται έξω από το τρίγωνο.
- Σε ορθογώνιο τρίγωνο, το περικέντρο βρίσκεται στο μέσο της υποτείνουσας.
- Δημιουργία ισοσκελών τριγώνων
Αν ενώσουμε το περικέντρο με τις κορυφές του τριγώνου, σχηματίζονται τρία ισοσκελή τρίγωνα,π.χ.:
\triangle ΟΑΒ, \triangle ΟΒΓ, \triangle ΟΓA , το μπλε, το πράσινο και το ροζ αντίστοιχα.
Σύγκριση με το Βαρύκεντρο και το Ορθόκεντρο
Παρακάτω δίνεται ο πίνακας σύγκρισης του βαρύκεντρου και του ορθόκεντρου μαζί με το περίκεντρο.
Σύγκριση
Χαρακτηριστικό | Περικέντρο | Ορθόκεντρο | Βαρύκεντρο |
---|---|---|---|
Ορισμός | Σημείο τομής των μεσοκαθέτων. | Σημείο τομής των υψών. | Σημείο τομής των διάμεσων. |
Τοποθεσία | Μπορεί και εκτός του τριγώνου. | Μπορεί και εκτός του τριγώνου. | Πάντα εντός του τριγώνου. |
Ιδιότητα | Κέντρο περιγεγραμμένου κύκλου | Σημείο ισορροπίας | Τομή υψών |
Κατασκευή του Περικέντρου
Η κατασκευή του περικέντρου είναι απλή και απαιτεί μόνο χάρακα και διαβήτη:
- Σχεδιάζουμε τις μεσοκάθετους δύο πλευρών του τριγώνου.
- Το σημείο τομής τους είναι το περικέντρο.
- Με κέντρο το περικέντρο και ακτίνα την απόσταση από οποιαδήποτε κορυφή, σχεδιάζουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο.
Συμπέρασμα
Το περικέντρο αποτελεί ένα από τα τέσσερα βασικά σημεία του τριγώνου. Ο συνδυασμός του με το βαρύκεντρο, το ορθόκεντρο και το έγκεντρο αναδεικνύει τη συμμετρία και την πολυπλοκότητα της γεωμετρίας. Είναι το μοναδικό σημείο που εξασφαλίζει ίση απόσταση από όλες τις κορυφές του τριγώνου, καθιστώντας το κρίσιμο για τη μελέτη του περιγεγραμμένου κύκλου.
Αφήστε μια απάντηση