Πως γίνεται η απαλοιφή gauss;

Η μέθοδος για απαλοιφή Gauss αποτελεί έναν από τους πιο θεμελιώδεις αλγόριθμους στη γραμμική άλγεβρα και χρησιμοποιείται για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Η διαδικασία αυτή βασίζεται σε μια σειρά πράξεων, οι οποίες εφαρμόζονται στον πίνακα συντελεστών του συστήματος για να τον μετατρέψουν σε μια απλούστερη μορφή.

Τι Είναι Ένα Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων;

Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων αποτελείται από ένα σύνολο εξισώσεων που περιλαμβάνουν άγνωστους παράγοντες. Για την επίλυση ενός τέτοιου συστήματος, απαιτείται να βρεθούν οι τιμές των αγνώστων που ικανοποιούν όλες τις εξισώσεις ταυτόχρονα.

Τα συστήματα γραμμικών εξισώσεων μπορούν να ταξινομηθούν στις εξής κατηγορίες:

Κανονικό σύστημα: Έχει μία μοναδική λύση.
Αόριστο σύστημα: Έχει άπειρες λύσεις.
Αδύνατο σύστημα: Δεν έχει λύση.

Η Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Η μέθοδος για απαλοιφή Gauss είναι μια διαδικασία βήμα-βήμα που χρησιμοποιείται για να μετατρέψει ένα σύστημα εξισώσεων στη μορφή που καθιστά ευκολότερη την επίλυσή του. Η διαδικασία αυτή περιλαμβάνει πράξεις στις γραμμές του πίνακα συντελεστών, με στόχο να γίνει άνω τριγωνικός πίνακας.

Βασικά Στοιχεία της Μεθόδου

Η μέθοδος χρησιμοποιεί τρεις τύπους στοιχειωδών πράξεων γραμμών:

Αντιμετάθεση δύο γραμμών: $Ri\leftrightarrowRj$
Πολλαπλασιασμός μιας γραμμής με μη μηδενικό αριθμό: $Ri\tokRi,$ όπου $k\neq0$
Πρόσθεση ή αφαίρεση πολλαπλασίου μιας γραμμής από μια άλλη: $Ri\toRi+kRj$

Στάδια της Μεθόδου

Γραφή του συστήματος στη μορφή πίνακα (επαυξημένος πίνακας): Ο πίνακας περιλαμβάνει τους συντελεστές των εξισώσεων και την τελευταία στήλη με τις σταθερές.
Μετατρέπω τον πίνακα σε ανώ κλιμακωτή μορφή: Μέσω στοιχειωδών πράξεων, οι τιμές κάτω από την κύρια διαγώνιο του πίνακα γίνονται μηδέν.
Αντικατάσταση: Ξεκινώντας από την τελευταία εξίσωση, οι άγνωστοι υπολογίζονται διαδοχικά.

Γενικοί κανόνες για ύπαρξη λύσης

Μοναδική λύση: Αν ο επαυξημένος πίνακας έχει βαθμίδα (μη μηδενικές γραμμές) ίση με τον αριθμό των αγνώστων.
Άπειρες λύσεις: Αν υπάρχουν γραμμές της μορφής $0 \quad 0 \quad 0 \quad | \quad 0.$
Καμία λύση (Αδύνατο σύστημα): Αν υπάρχει γραμμή $0 \quad 0 \quad 0 \quad | \quad c, \quad c≠0$ .

Παράδειγμα 1

Ας λύσουμε το παρακάτω σύστημα γραμμικών εξισώσεων:

$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ x + 2y + 3z = 5 \\ 2x + 3y + 4z = 11 \end{cases}$

Βήμα 1: Γραφή του Συστήματος στη Μορφή Πίνακα

Ο επαυξημένος πίνακας είναι:

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 2 \\ 1 & 2 & 3 & | & 5 \\ 2 & 3 & 4 & | & 11 \end{bmatrix}$

Βήμα 2: Εφαρμογή Στοιχειωδών Πράξεων

$R2\toR2-R1$ :

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 2 \\ 0 & 1 & 2 & | & 3 \\ 2 & 3 & 4 & | & 11 \end{bmatrix}$

$R3\toR3-2R1$ :

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 2 \\ 0 & 1 & 2 & | & 3 \\ 0 & 1 & 2 & | & 7 \end{bmatrix}$

$R3\toR3-R2$ :

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 2 \\ 0 & 1 & 2 & | & 3 \\ 0 & 0 & 0 & | & 4 \end{bmatrix}$

Η τελευταία γραμμή δείχνει ότι το σύστημα είναι αδύνατο και δεν έχει λύση γιατί είναι της μορφής: $0 \quad 0 \quad 0 \quad | \quad c, \quad c≠0$ .

Παράδειγμα 2

Έχουμε το παρακάτω σύστημα:

$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x + 2y + 3z = 14 \\ 2x + 3y + z = 11 \end{cases}$

Βήμα 1: Γράφουμε τον επαυξημένο πίνακα

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 2 & 3 & 1 & | & 11 \end{bmatrix}$

Βήμα 2: Μηδενίζουμε τα στοιχεία κάτω από τον πρώτο άξονα

Αφαιρούμε την πρώτη γραμμή από τη δεύτερη:
$R2\toR2-R1$

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & 2 & | & 8 \\ 2 & 3 & 1 & | & 11 \end{bmatrix}$

Αφαιρούμε 2 φορές την πρώτη γραμμή από την τρίτη:
$R3\toR3-2R1$

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & 2 & | & 8 \\ 0 & 1 & -1 & | & -1 \end{bmatrix}$

Βήμα 3: Μηδενίζουμε το δεύτερο στοιχείο της τρίτης γραμμής

$R3\toR3-R2$

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & 2 & | & 8 \\ 0 & 0 & -3 & | & -9 \end{bmatrix}$

Βήμα 4: Αντικατάσταση

Από την τελευταία εξίσωση:

$-3z=-9 \Rightarrow z=3$

Αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση:

$y+2(3)=8 \Rightarrow y+6=8 \Rightarrow y=2$

Αντικαθιστούμε στην πρώτη εξίσωση:

$x+2+3=6 \Rightarrow x+5=6 \Rightarrow x=1$

Τελική λύση:

$x=1, y=2, z=3$

Πλεονεκτήματα από την απαλοιφή Gauss

Αποτελεσματική για συστήματα με πολλαπλές εξισώσεις και αγνώστους.
Μπορεί να εφαρμοστεί σε υπολογιστικά συστήματα, όπως αριθμομηχανές ή λογισμικό.

Συμπέρασμα

Η μέθοδος απαλοιφής του Gauss είναι ένας απλός και αποδοτικός τρόπος επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Παρέχει τη βάση για άλλες μεθόδους, όπως η Gauss-Jordan μέθοδος, και χρησιμοποιείται εκτενώς στη γραμμική άλγεβρα, τη μηχανική και την επιστήμη των υπολογιστών.