Πως λύνω εξισώσεις 2ου βαθμού

Τι είναι οι εξισώσεις 2ου βαθμού;

Οι εξισώσεις 2ου βαθμού είναι αλγεβρικές εξισώσεις δευτέρου βαθμού με μεταβλητή x, με τη γενική μορφή:

ax^2 + bx + c = 0

όπου a, b, και c είναι σταθερές και x είναι η μεταβλητή. Ο συντελεστής του x^2 (δηλαδή το a) δεν πρέπει να είναι μηδέν.

εξισώσεις 2ου βαθμού

Τύποι Δευτεροβάθμιων Εξισώσεων:

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις μπορούν να παρουσιαστούν σε διάφορες μορφές:

  • (x – 1)(x + 2) = 0
  • -x^2 = -3x + 1
  • 5x(x + 3) = 12x

Αυτές οι εξισώσεις πρέπει να μετατραπούν στη μορφή ax^2 + bx + c = 0 πριν από περαιτέρω πράξεις.

Ρίζες Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης:

Οι ρίζες μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι οι δύο τιμές του x, που προκύπτουν από την επίλυσή της. Ονομάζονται επίσης λύσεις της εξίσωσης.

Παράδειγμα:

Για την εξίσωση x^2 – 3x – 4 = 0, οι ρίζες είναι x = -1 και x = 4, καθώς:

  • Για x = -1: (-1)^2 – 3(-1) – 4 = 0
  • Για x = 4: (4)^2 – 3(4) – 4 = 0
Τύπος Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης:

Ο τύπος της δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι ο πιο γρήγορος τρόπος εύρεσης των ριζών της εξίσωσης. Ο τύπος είναι:

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}

όπου b^2 – 4ac είναι η διακρίνουσα D μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης η οποία καθορίζει τη φύση των ριζών:

  • Αν D > 0, οι ρίζες είναι πραγματικές και διαφορετικές.
  • Αν D = 0, οι ρίζες είναι πραγματικές και ίσες.
  • Αν D < 0, οι ρίζες είναι φανταστικές.

  • Λύσεις για εξισώσεις 2ου βαθμού

    Παράδειγμα:

    Για την εξίσωση x^2 – 3x – 4 = 0, όπου a = 1, b = -3, και c = -4:

    x = \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 – 4(1)(-4)}}{2(1)} = \dfrac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{3 \pm 5}{2}.

    Οι ρίζες είναι x = 4 και x = -1.
    Άθροισμα και Γινόμενο των Ριζών (τύποι vieta):

    Για την εξίσωση ax^2 + bx + c = 0:

    • Το άθροισμα των ριζών είναι \alpha + \beta = \dfrac{-b}{a}
    • Το γινόμενο των ριζών είναι \alpha \beta = \dfrac{c}{a}
    Σχηματισμός Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης από Ρίζες:

    Αν \alpha και \beta είναι οι ρίζες, η εξίσωση είναι:

    x^2 – (\alpha + \beta)x + \alpha \beta = 0
    Παράδειγμα:
    Αν οι ρίζες είναι 4 και -1, τότε η εξίσωση είναι:

    x^2 – (4 – 1)x + (4)(-1) = 0 \Rightarrow

    x^2 – 3x – 4 = 0.
    Άλλη μέθοδος Επίλυσης Δευτεροβάθμιων Εξισώσεων:

    Παραγοντοποίηση:
    Ας κατανοήσουμε πως εργαζόμαστε για την επίλυση μίας δευτεροβάθμίας εξίσωσης με την μέθοδο παραγοντοποίησης μέσα από ένα παράδειγμα.

    Παράδειγμα

    Για την εξίσωση x^2 + 5x + 6 = 0:

    x^2 + 2x + 3x + 6 = 0 \Rightarrow
    x(x + 2) + 3(x + 2) = 0 \Rightarrow
    (x + 2)(x + 3) = 0

    Οι ρίζες είναι x = -2 και x = -3.

Μοιράσου το άρθρο:


A side profile of a woman in a russet-colored turtleneck and white bag. She looks up with her eyes closed.

“Γράψε μου παρακάτω σε ένα σχόλιο οποιαδήποτε απορία σου και θα σου απαντήσω άμεσα!”

— Χριστίνα, Μαθηματικός

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *