Τι είναι οι εξισώσεις 2ου βαθμού;
Οι εξισώσεις 2ου βαθμού είναι αλγεβρικές εξισώσεις δευτέρου βαθμού με μεταβλητή x, με τη γενική μορφή:
όπου a, b, και c είναι σταθερές και x είναι η μεταβλητή. Ο συντελεστής του x^2 (δηλαδή το a) δεν πρέπει να είναι μηδέν.
Τύποι Δευτεροβάθμιων Εξισώσεων:
Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις μπορούν να παρουσιαστούν σε διάφορες μορφές:
- (x – 1)(x + 2) = 0
- -x^2 = -3x + 1
- 5x(x + 3) = 12x
Αυτές οι εξισώσεις πρέπει να μετατραπούν στη μορφή ax^2 + bx + c = 0 πριν από περαιτέρω πράξεις.
Ρίζες Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης:
Οι ρίζες μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι οι δύο τιμές του x, που προκύπτουν από την επίλυσή της. Ονομάζονται επίσης λύσεις της εξίσωσης.
Παράδειγμα:
Για την εξίσωση x^2 – 3x – 4 = 0, οι ρίζες είναι x = -1 και x = 4, καθώς:
- Για x = -1: (-1)^2 – 3(-1) – 4 = 0
- Για x = 4: (4)^2 – 3(4) – 4 = 0
Τύπος Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης:
Ο τύπος της δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι ο πιο γρήγορος τρόπος εύρεσης των ριζών της εξίσωσης. Ο τύπος είναι:
όπου b^2 – 4ac είναι η διακρίνουσα D μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης η οποία καθορίζει τη φύση των ριζών:
- Αν D > 0, οι ρίζες είναι πραγματικές και διαφορετικές.
- Αν D = 0, οι ρίζες είναι πραγματικές και ίσες.
- Αν D < 0, οι ρίζες είναι φανταστικές.
- Το άθροισμα των ριζών είναι \alpha + \beta = \dfrac{-b}{a}
- Το γινόμενο των ριζών είναι \alpha \beta = \dfrac{c}{a}
Για την εξίσωση x^2 – 3x – 4 = 0, όπου a = 1, b = -3, και c = -4:
x = \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 – 4(1)(-4)}}{2(1)} = \dfrac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{3 \pm 5}{2}.
Οι ρίζες είναι x = 4 και x = -1.
Άθροισμα και Γινόμενο των Ριζών (τύποι vieta):
Για την εξίσωση ax^2 + bx + c = 0:
Σχηματισμός Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης από Ρίζες:
Αν \alpha και \beta είναι οι ρίζες, η εξίσωση είναι:
Αν οι ρίζες είναι 4 και -1, τότε η εξίσωση είναι:
x^2 – (4 – 1)x + (4)(-1) = 0 \Rightarrow
x^2 – 3x – 4 = 0.
Άλλη μέθοδος Επίλυσης Δευτεροβάθμιων Εξισώσεων:
Παραγοντοποίηση:
Ας κατανοήσουμε πως εργαζόμαστε για την επίλυση μίας δευτεροβάθμίας εξίσωσης με την μέθοδο παραγοντοποίησης μέσα από ένα παράδειγμα.
Για την εξίσωση x^2 + 5x + 6 = 0:
x^2 + 2x + 3x + 6 = 0 \Rightarrow
x(x + 2) + 3(x + 2) = 0 \Rightarrow
(x + 2)(x + 3) = 0
Οι ρίζες είναι x = -2 και x = -3.
Αφήστε μια απάντηση