Ποιο είναι το πεδίο ορισμού lnx ;
Η συνάρτηση λογαρίθμου \ln{x} (φυσικός λογάριθμος) είναι μία από τις πιο σημαντικές συναρτήσεις στα μαθηματικά και εμφανίζεται σε πολλά πεδία, όπως στην άλγεβρα, τον υπολογισμό και την ανάλυση. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής βασίζεται στον ορισμό του φυσικού λογαρίθμου \ln{x} .
Η συνάρτηση f(x) = \ln{x} είναι ορισμένη μόνο για θετικές τιμές του x . Αυτό συμβαίνει επειδή δεν υπάρχει λογάριθμος πραγματικού αριθμού για αρνητικές τιμές ή για το 0. Συγκεκριμένα:
– Για x > 0 , η συνάρτηση \ln{x} είναι ορισμένη.
– Για x \leq 0 , η συνάρτηση δεν ορίζεται.
Επομένως, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \ln{x} είναι το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών:
Παράδειγμα 1:
f(x) = \ln{(2x + 1)} .
Έστω η συνάρτηση f(x) = \ln{(2x + 1)} . Για να βρούμε το πεδίο ορισμού, το επιχείρημα 2x + 1 πρέπει να είναι θετικό:
2x + 1 > 0
Λύνουμε την ανίσωση:
2x > -1
x > -\frac{1}{2}
Άρα, το πεδίο ορισμού lnx είναι το σύνολο των x \in \mathbb{R} για τα οποία:
\text{Πεδίο ορισμού}: \{x \in \mathbb{R} : x > -\frac{1}{2}\}
Παράδειγμα 2:
f(x) = \ln{\left( \frac{x – 1}{x + 2} \right)} .
Για τη συνάρτηση f(x) = \ln{\left( \dfrac{x – 1}{x + 2} \right)} , το κλάσμα \frac{x – 1}{x + 2} πρέπει να είναι θετικό. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να εξετάσουμε πότε το κλάσμα είναι θετικό.
Βήμα 1: Εξετάζουμε την αριθμητική και την παρονομαστική παράσταση
– Το x – 1 είναι θετικό όταν x > 1 .
– Το x + 2 είναι θετικό όταν x > -2 .
Βήμα 2: Εξετάζουμε το πρόσημο του κλάσματος
Το κλάσμα \dfrac{x – 1}{x + 2} είναι θετικό όταν και οι δύο παραστάσεις είναι είτε θετικές είτε αρνητικές ταυτόχρονα:
– Όταν x > 1 , και οι δύο είναι θετικές.
– Όταν x < -2 , και οι δύο είναι αρνητικές.
Άρα, το κλάσμα είναι θετικό όταν x > 1 ή x < -2 .
Βήμα 3: Πεδίο ορισμού
Εξαιρούμε την τιμή x = -2 , καθώς στο σημείο αυτό ο παρονομαστής γίνεται μηδέν. Το τελικό πεδίο ορισμού είναι:
\text{Πεδίο ορισμού}: \{x \in \mathbb{R} : x > 1 \, \text{ή} \, x < -2\}
Αφήστε μια απάντηση