P_n(x) = f(a) + f'(a)(x – a) + \dfrac{f''(a)}{2!} (x – a)^2 + \dfrac{f'''(a)}{3!} (x – a)^3 + \dots + \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!} (x – a)^n

P_n(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x – a)^n

Παράδειγμα 1:

Βρες το πολυώνυμο Taylor για τη συνάρτηση f(x) = 3x – 2x^3 με κέντρο στο a = -3.

Δεδομένα:

• Συνάρτηση: f(x) = 3x – 2x^3
• Κέντρο: a = -3

Χρησιμοποιώντας τον τύπο του πολυωνύμου Taylor:

P_n(x) = f(a) + f'(a)(x – a) + \dfrac{f''(a)}{2!}(x – a)^2 + \dfrac{f'''(a)}{3!}(x – a)^3 + \dots + \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x – a)^n

Οι παράγωγοι της συνάρτησης είναι:

• f(x) = 3x – 2x^3
• f'(x) = 3 – 6x^2
• f''(x) = -12x
• f'''(x) = -12

Αφού a = -3 και n = 3, το απαιτούμενο πολυώνυμο είναι:

P_3(x) = f(-3) + f'(-3)(x + 3) + \dfrac{f''(-3)}{2!}(x + 3)^2 + \dfrac{f'''(-3)}{3!}(x + 3)^3

Υπολογίζουμε τη συνάρτηση και τις παραγώγους στο σημείο x = -3:

• f(-3) = 3(-3) – 2(-3)^3 = 45
• f'(-3) = 3 – 6(-3)^2 = -51
• f''(-3) = -12(-3) = 36
• f'''(-3) = -12

Το πολυώνυμο Taylor τρίτου βαθμού είναι:

P_3(x) = 45 – 51(x + 3) + \dfrac{36}{2}(x + 3)^2 – 12(x + 3)^3

Απάντηση: Το πολυώνυμο Taylor τρίτου βαθμού γύρω από το a = -3 για τη συνάρτηση f(x) = 3x – 2x^3 είναι:

P_3(x) = 45 – 51(x + 3) + 18(x + 3)^2 – 12(x + 3)^3

Παράδειγμα 2:

Βρες το πολυώνυμο Taylor για τη συνάρτηση f(x) = \cos(x) με κέντρο στο x = 0.

Δεδομένα:

• Συνάρτηση: f(x) = \cos(x)

Χρησιμοποιώντας τον τύπο του πολυωνύμου Taylor:

P_n(x) = f(a) + f'(a)(x – a) + \dfrac{f''(a)}{2!}(x – a)^2 + \dfrac{f'''(a)}{3!}(x – a)^3 + \dots + \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x – a)^n

Οι παράγωγοι της συνάρτησης είναι:

• f(x) = \cos(x)
• f'(x) = -\sin(x)
• f''(x) = -\cos(x)
• f'''(x) = \sin(x)

Για a = 0, έχουμε:

P(x) = 1 – \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} – \dots

Απάντηση: Το πολυώνυμο Taylor για τη συνάρτηση \cos(x) είναι:

P(x) = 1 – \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} – \dots