Ποιο είναι το θεώρημα Taylor
Το Θεώρημα Taylor δηλώνει ότι αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη μέχρι τουλάχιστον την (N+1)-οστή παράγωγο σε κάποιο διάστημα γύρω από το σημείο a, τότε μπορούμε να προσεγγίσουμε την f(x) για x κοντά στο a με το ανάπτυγμα Taylor, συν ένα υπόλοιπο. Το ανάπτυγμα Taylor μέχρι τον όρο N έχει τη μορφή:
Το δεύτερο μέρος αυτής της εξίσωσης είναι το υπόλοιπο της προσέγγισης, με z να είναι ένα σημείο μεταξύ x και a.
Απόδειξη
Η απόδειξη ξεκινά ορίζοντας μια νέα συνάρτηση F(t), η οποία θα μας βοηθήσει να βρούμε το υπόλοιπο. Ορίζουμε:
F(t) = \sum_{n=0}^{N} \dfrac{f^{(n)}(t)}{n!} (x – t)^n + B(x – t)^{N+1}
Στο σημείο t = a, η συνάρτηση F(t) ισούται με την τιμή f(x). Άρα, έχουμε:
F(a) = \sum_{n=0}^{N} \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!} (x – a)^n + B(x – a)^{N+1}
Και ορίζουμε ότι:
f(x) = \sum_{n=0}^{N} \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!} (x – a)^n + B(x – a)^{N+1}
Για να βρούμε το B, παρατηρούμε ότι η συνάρτηση F(t) έχει την ίδια τιμή στα άκρα του διαστήματος [a, x]. Σύμφωνα με το Θεώρημα του Rolle, γνωρίζουμε ότι υπάρχει κάποιο z \in (a, x) τέτοιο ώστε η παράγωγος της F(t) στο σημείο z να είναι μηδέν, δηλαδή F'(z) = 0.
Υπολογίζουμε την παράγωγο της F(t):
F'(t) = f^{(N+1)}(t) \dfrac{(x – t)^N}{N!} + B(N+1)(x – t)^N (-1)
Στο σημείο z, όπου F'(z) = 0, προκύπτει:
0 = f^{(N+1)}(z) \dfrac{(x – z)^N}{N!} – B(N+1)(x – z)^N
Λύνοντας για το B, βρίσκουμε:
B = \dfrac{f^{(N+1)}(z)}{(N+1)!}
Τελικά, αντικαθιστώντας την τιμή του B στην αρχική εξίσωση, προκύπτει ότι:
f(x) = \sum_{n=0}^{N} \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!} (x – a)^n + \dfrac{f^{(N+1)}(z)}{(N+1)!} (x – a)^{N+1}
Παράδειγμα
Ας εφαρμόσουμε το Θεώρημα του Taylor για να προσεγγίσουμε τη συνάρτηση f(x) = \ln(1 + x) γύρω από το σημείο a = 0 και να υπολογίσουμε το σφάλμα.
Βήμα 1: Υπολογισμός της σειράς Taylor
Η συνάρτηση f(x) = \ln(1 + x) έχει παράγωγους όλων των τάξεων, οπότε μπορούμε να εφαρμόσουμε τη σειρά Taylor γύρω από το x = 0.
1. Αρχική συνάρτηση:
f(x) = \ln(1 + x)
Επομένως, f(0) = \ln(1) = 0.
2. Πρώτη παράγωγος:
f'(x) = \dfrac{1}{1 + x} \quad \text{άρα} \quad f'(0) = 1
3. Δεύτερη παράγωγος:
f''(x) = -\dfrac{1}{(1 + x)^2} \quad \text{άρα} \quad f''(0) = -1
4. Τρίτη παράγωγος:
f'''(x) = \dfrac{2}{(1 + x)^3} \quad \text{άρα} \quad f'''(0) = 2
5. Τέταρτη παράγωγος:
f^{(4)}(x) = -\dfrac{6}{(1 + x)^4} \quad \text{άρα} \quad f^{(4)}(0) = -6
Έτσι, το ανάπτυγμα Taylor μέχρι τον τρίτο όρο είναι:
P_3(x) = f(0) + f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \dfrac{f'''(0)}{3!}x^3Υπολογίζοντας τους όρους:
P_3(x) = 0 + 1 \cdot x + \dfrac{-1}{2!}x^2 + \dfrac{2}{3!}x^3 = x – \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3}
Βήμα 2: Υπολογισμός του σφάλματος
Σύμφωνα με το Θεώρημα του Taylor, το σφάλμα R_4(x) δίνεται από τον τύπο:
R_4(x) = \dfrac{f^{(4)}(c)}{4!} x^4για κάποια τιμή c μεταξύ 0 και x.
Ξέρουμε ότι:
f^{(4)}(c) = -\dfrac{6}{(1 + c)^4}Άρα το υπόλοιπο (σφάλμα) είναι:
R_4(x) = \dfrac{-6}{4! (1 + c)^4} x^4 = \dfrac{-6}{24 (1 + c)^4} x^4 = \dfrac{-x^4}{4(1 + c)^4}
Βήμα 3: Εφαρμογή για συγκεκριμένο x
Ας υπολογίσουμε την τιμή του \ln(1 + x) και την προσέγγισή του με την σειρά Taylor όταν x = 0.5.
– Η πραγματική τιμή είναι:
f(0.5) = \ln(1 + 0.5) = \ln(1.5) \approx 0.405465
– Η προσέγγιση με την σειρά Taylor P_3(x) είναι:
P_3(0.5) = 0.5 – \dfrac{(0.5)^2}{2} + \dfrac{(0.5)^3}{3} = 0.5 – 0.125 + 0.020833 \approx 0.395833
– Το σφάλμα μπορεί να εκτιμηθεί με το υπόλοιπο:
R_4(0.5) = \dfrac{-0.5^4}{4(1 + c)^4}
Με το c να είναι περίπου 0.25 (μια τιμή ανάμεσα στο 0 και 0.5):
R_4(0.5) \approx \dfrac{-0.0625}{4(1.25)^4} \approx -0.005
Άρα το σφάλμα είναι περίπου -0.005, κάτι που μας δίνει τελική προσέγγιση 0.395833 – 0.005 = 0.400833, που είναι αρκετά κοντά στην πραγματική τιμή \ln(1.5) = 0.405465.
Συμπέρασμα
Το Θεώρημα του Taylor μας επιτρέπει να προσεγγίσουμε τη συνάρτηση \ln(1 + x) με το πολυώνυμο P_3(x) = x – \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3}, και το σφάλμα της προσέγγισης μπορεί να εκτιμηθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο του Lagrange για το υπόλοιπο.

“Γράψε μου παρακάτω σε ένα σχόλιο οποιαδήποτε απορία σου και θα σου απαντήσω άμεσα!”
— Χριστίνα, Μαθηματικός
Αφήστε μια απάντηση