Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι ένας πληθυσμός κατσαρίδων αυξάνεται εκθετικά κάθε χρόνο, ξεκινώντας με 3 κατσαρίδες τον πρώτο χρόνο, 9 τον δεύτερο, 729 τον τρίτο, 387420489 τον τέταρτο και ούτω καθεξής. Σε αυτή την περίπτωση, ο πληθυσμός αυξάνεται με τον εκθετικό ρυθμό του 3 κάθε χρόνο.

• Τύπος 1: f(x) = ab^x
• Τύπος 2: f(x) = a(1 + r)^x
• Τύπος 3: P = P_0 e^{kt}

Παράδειγμα 1: Αύξηση πληθυσμού ψαριώνΣε μια λίμνη υπήρχαν 50 ψάρια, τα οποία αυξήθηκαν σε 135 μετά από έξι μήνες. Αν τα ψάρια αυξάνονται εκθετικά, πόσα ψάρια θα υπάρχουν στη λίμνη στο τέλος ενός έτους; Στρογγυλοποιήστε την απάντηση στον πλησιέστερο ακέραιο.

Λύση: 

Ο αρχικός αριθμός των ψαριών είναι a = 50 .

Δεδομένου ότι τα ψάρια αυξάνονται εκθετικά, χρησιμοποιούμε τον τύπο της εκθετικής αύξησης:

y = ab^x

y = 50 b^x … (1)

Μας δίνεται ότι ο αριθμός των ψαριών μετά από 6 μήνες είναι 135. Άρα, αντικαθιστούμε x = 1/2 (μισό έτος) και y = 135 στην παραπάνω εξίσωση.

135 = 50 b^{1/2}

Διαιρώντας και τις δύο πλευρές με 50:

2.7 = b^{1/2}

Υψώνοντας και τις δύο πλευρές στο τετράγωνο:

7.29 = b

Παρατηρούμε ότι b = 7.29 > 1 , όπως αναμενόταν για εκθετική αύξηση.

Για να βρούμε τον αριθμό των ψαριών στο τέλος του ενός έτους, αντικαθιστούμε x = 1 και b = 7.29 στην εξίσωση (1):

y = 50(7.29)^1 = 364.5 \approx 365 (στρογγυλοποιημένο στον πλησιέστερο ακέραιο).

Άρα, στο τέλος του ενός έτους, θα υπάρχουν περίπου 365 ψάρια στη λίμνη.

Παράδειγμα 2: Υπολογισμός τόκουΟ Τζέικ δανείζει 20.000 δολάρια σε έναν φίλο του με ετήσιο επιτόκιο 5,7%, με ετήσιο ανατοκισμό. Χρησιμοποιώντας τον τύπο της εκθετικής αύξησης, βρείτε το ποσό που θα του οφείλεται μετά από 6 χρόνια. Στρογγυλοποιήστε την απάντηση στον πλησιέστερο ακέραιο.

Λύση: 

Η αρχική τιμή είναι a = 20.000 .

r = Επιτόκιο = 5.7% = \frac{5.7}{100} = 0.057 .

x = Αριθμός ετών = 6 (χρησιμοποιούμε τα “χρόνια” επειδή το επιτόκιο είναι ετήσιο).

Χρησιμοποιώντας τον τύπο της εκθετικής αύξησης:

f(x) = a(1 + r)^x

f(x) = 20.000(1 + 0.057)^6 \approx 27.892 (στρογγυλοποιημένο στον πλησιέστερο ακέραιο).

Άρα, το συνολικό ποσό που θα οφείλεται μετά από 6 χρόνια είναι 27.892 δολάρια.

Παράδειγμα 3: Αύξηση πληθυσμούΤο 2001, υπήρχαν 100 κάτοικοι σε μια απομακρυσμένη πόλη. Ο πληθυσμός αυξάνεται κατά 10% κάθε χρόνο. Πόσοι κάτοικοι θα υπάρχουν μετά από 5 χρόνια;

Λύση: 

Δεδομένα:

a = 100

r = 10\% = 0.10

x = 5

Χρησιμοποιώντας τον τύπο της εκθετικής αύξησης:

f(x) = a(1 + r)^x

f(x) = 100(1 + 0.10)^5

f(x) = 100(1.1)^5 = 161.051 \approx 162 (στρογγυλοποιημένο στον πλησιέστερο ακέραιο).

Άρα, μετά από 5 χρόνια, ο πληθυσμός θα είναι περίπου 162 κάτοικοι.