Τι είναι η εκθετική συνάρτηση
Η εκθετική συνάρτηση, όπως δηλώνει το όνομά της, περιλαμβάνει εκθέτες. Μία εκθετική συνάρτηση έχει σταθερή βάση και μεταβλητό εκθέτη, αλλά όχι το αντίθετο (δηλαδή, αν μια συνάρτηση έχει μεταβλητή βάση και σταθερό εκθέτη, τότε είναι μια δυναμική συνάρτηση και όχι εκθετική). Μία εκθετική συνάρτηση μπορεί να έχει τη μορφή:
όπου το x είναι μεταβλητή και το a είναι μία σταθερά που ονομάζεται η βάση της συνάρτησης και πρέπει να είναι μεγαλύτερη από το μηδέν.
- f(x) = 2^x
- f(x) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x
- f(x) = 3e^{2x}
- f(x) = 4 \cdot 3^{-0.5x}
Τύπος Εκθετικής Συνάρτησης
Μία βασική εκθετική συνάρτηση από τον ορισμό της έχει τη μορφή:
f(x) = b^x
όπου b είναι μία σταθερά και το x είναι μία μεταβλητή.
Μία από τις πιο γνωστές εκθετικές συναρτήσεις είναι η f(x) = e^x , όπου το e είναι ο αριθμός του Euler με τιμή περίπου e = 2.718….
Μία εκθετική συνάρτηση μπορεί επίσης να έχει τη μορφή:
f(x) = e^{kx}
ή
f(x) = p e^{kx}
όπου p και k είναι σταθερές και το e είναι η βάση του φυσικού λογαρίθμου.
Μορφές Εκθετικών Συναρτήσεων
Μία εκθετική συνάρτηση μπορεί να έχει διάφορες μορφές, όπως:
- f(x) = b^x
- f(x) = ab^x
- f(x) = ab^{cx}
- f(x) = e^x
- f(x) = e^{kx}
- f(x) = p e^{kx}
Σε όλες αυτές τις συναρτήσεις, το b πρέπει να είναι μεγαλύτερο από το μηδέν και διαφορετικό από το 1 (δηλαδή b > 0 και b \neq 1).
Γραφική Παράσταση Εκθετικής Συνάρτησης
Για να κατανοήσουμε τη διαδικασία σχεδιασμού της γραφικής παράστασης μίας εκθετικής συνάρτησης, ας εξετάσουμε δύο παραδείγματα:
τη f(x) = 2^x και τη g(x) = \left( \dfrac{1}{2} \right)^x . Κατασκευάζουμε έναν πίνακα τιμών για τυχαίες τιμές του x, υπολογίζουμε τις αντίστοιχες τιμές του y, σχεδιάζουμε τα σημεία και τα ενώνουμε με καμπύλη.
Πίνακας Τιμών για f(x) = 2^x
x
|
f(x) = 2^x |
---|---|
-2 | 0.25 |
-1 | 0.5 |
0 | 1 |
1 | 2 |
2 | 4 |
Πίνακας Τιμών για g(x) = \left( \frac{1}{2} \right)^x
x
|
g(x) = \left( \dfrac{1}{2} \right)^x |
---|---|
-2 | 4 |
-1 | 2 |
0 | 1 |
1 | 0.5 |
2 | 0.25 |
Από τις γραφικές παραστάσεις των f(x) = 2^x και g(x) = \left( \frac{1}{2} \right)^x , παρατηρούμε ότι:
– Η f(x) = 2^x είναι αύξουσα όταν b > 1 .
– Η g(x) = \left( \frac{1}{2} \right)^x είναι φθίνουσα όταν 0 < b < 1 .
Ασύμπτωτες Εκθετικής Συνάρτησης
Οι εκθετικές συναρτήσεις έχουν **οριζόντια ασύμπτωτη** αλλά όχι κάθετη. Η εξίσωση της οριζόντιας ασύμπτωτης της εκθετικής συνάρτησης f(x) = ab^x + c είναι:
y = c
Πεδίο Ορισμού και Σύνολο Τιμών Εκθετικής Συνάρτησης
Το πεδίο ορισμού μίας εκθετικής συνάρτησης είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών (-∞, ∞). Το σύνολο τιμών εξαρτάται από την οριζόντια ασύμπτωτη και την παράμετρο a. Για μία εκθετική συνάρτηση f(x) = ab^x :
– Πεδίο ορισμού: (-∞, ∞)
– Σύνολο τιμών: f(x) > d αν a > 0 και f(x) < d αν a < 0.
Εκθετική Σειρά
Η πραγματική εκθετική συνάρτηση μπορεί να οριστεί με τη σειρά ισχύος:
e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + \frac{x}{1} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots
Εκθετική συνάρτηση e ιδιότητες
Οι ιδιότητες για τις εκθετικές συναρτήσεις είναι οι ίδιοι με τις ιδιότητες των δυνάμεων:
- a^0 = 1
- a^m \cdot a^n = a^{m+n}
- \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}
- (a^m)^n = a^{mn}
- (ab)^m = a^m b^m
- \left( \dfrac{a}{b} \right)^m = \dfrac{a^m}{b^m}
Αφήστε μια απάντηση