Τι είναι η λογαριθμική συνάρτηση

Τι είναι η λογαριθμική συνάρτηση

Μία λογαριθμική συνάρτηση είναι η αντίστροφη της εκθετικής συνάρτησης. Η βασική λογαριθμική συνάρτηση έχει τη μορφή:

f(x) = \log_a{x}

ή

y = \log_a{x}

όπου a > 0.

Οι λογαριθμικές συναρτήσεις περιλαμβάνουν το φυσικό λογάριθμο (\ln) και τον κοινό λογάριθμο (\log).

Μερικά παραδείγματα λογαριθμικών συναρτήσεων είναι:

f(x) = \ln (x – 2)
g(x) = \log_2 (x + 5) – 2
h(x) = 2 \log{x}

Μερικές από τις μη ακέραιες τιμές εκθετών μπορούν να υπολογιστούν εύκολα με τη χρήση των λογαριθμικών συναρτήσεων.

Για παράδειγμα, είναι εύκολο να βρούμε την τιμή του x στις εκθετικές εξισώσεις 2^x = 8 ή 2^x = 16, αλλά η εξίσωση 2^x = 10 είναι πιο δύσκολη. Εδώ μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις λογαριθμικές συναρτήσεις για να μετασχηματίσουμε την εξίσωση σε λογαριθμική μορφή:

\log_2{10} = x

και στη συνέχεια να βρούμε την τιμή του x.

 

Μετατροπή εκθετικής συνάρτησης σε λογαριθμική

Η εκθετική συνάρτηση της μορφής a^x = N μπορεί να μετασχηματιστεί σε λογαριθμική συνάρτηση ως:

\log_a{N} = x

Συνήθως, οι λογάριθμοι υπολογίζονται με βάση το 10, και η λογαριθμική τιμή οποιουδήποτε αριθμού μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας πίνακα λογαρίθμων. Οι λογάριθμοι μπορούν να υπολογιστούν για θετικούς ακέραιους αριθμούς, κλάσματα, δεκαδικούς, αλλά δεν μπορούν να υπολογιστούν για αρνητικές τιμές.

 

Πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών λογαριθμικών συναρτήσεων

Ας εξετάσουμε τη βασική (μητρική) κοινή λογαριθμική συνάρτηση f(x) = \log{x}y = \log{x}). Γνωρίζουμε ότι \log{x} ορίζεται μόνο όταν x > 0, επομένως το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών. Ας δούμε μερικές τιμές εξόδου (y) για διάφορες τιμές εισόδου (x):

– Όταν x = 1, y = \log{1} = 0
– Όταν x = 2, y = \log{2} = 0.3010
– Όταν x = 0.2, y = -0.6990
– Όταν x = 0.01, y = -2

Βλέπουμε ότι το y μπορεί να είναι θετικός ή αρνητικός πραγματικός αριθμός ή μηδέν. Συνεπώς, το σύνολο τιμών μιας λογαριθμικής συνάρτησης είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών. Έτσι:

– Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης y = \log{x} είναι x > 0, δηλαδή (0, \infty).
– Το σύνολο τιμών οποιασδήποτε λογαριθμικής συνάρτησης είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών (\mathbb{R}).

Παράδειγμα: 

Βρείτε το πεδίο ορισμού και το πεδίο τιμών της λογαριθμικής συνάρτησης f(x) = 2 \log{(2x – 4)} + 5.

Λύση:

Για να βρούμε το πεδίο ορισμού, θέτουμε το επιχείρημα της συνάρτησης μεγαλύτερο από το 0 και λύνουμε για x:

2x – 4 > 0 \Rightarrow 2x > 4 \Rightarrow x > 2

Άρα το πεδίο ορισμού είναι (2, \infty).
Όπως έχουμε ήδη δει, το σύνολο τιμών οποιασδήποτε λογαριθμικής συνάρτησης είναι \mathbb{R}, συνεπώς το σύνολο τιμών του f(x) είναι \mathbb{R}.

 

Γραφική παράσταση λογαριθμικών συναρτήσεων

Έχουμε ήδη δει ότι το πεδίο ορισμού της βασικής λογαριθμικής συνάρτησης y = \log_a{x} είναι το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών και το πεδίο τιμών είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών. Επειδή οι εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις είναι αντίστροφες, οι γραφικές τους παραστάσεις είναι συμμετρικές ως προς τη γραμμή y = x. Επίσης, η συνάρτηση έχει σημείο τομής με τον άξονα x στο σημείο (1, 0), αφού \log_a{1} = 0 για κάθε a.

Μια λογαριθμική συνάρτηση δεν έχει σημείο τομής με τον άξονα y, καθώς \log_a{0} δεν ορίζεται.

λογαριθμική συνάρτηση γραφική παράσταση

Ιδιότητες της γραφικής παράστασης λογαριθμικής συνάρτησης:

a > 0 και a \neq 1.
– Η γραφική παράσταση αυξάνεται όταν a > 1 και μειώνεται όταν 0 < a < 1.
– Το πεδίο ορισμού προκύπτει από τη θέση του επιχειρήματος της συνάρτησης μεγαλύτερο από το 0.
– Το πεδίο τιμών είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Παράδειγμα: 

Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της λογαριθμικής συνάρτησης f(x) = 2 \log_3{(x + 1)}.

Λύση:

Εδώ η βάση είναι 3 > 1, άρα η καμπύλη θα είναι αυξανόμενη.

Για το πεδίο ορισμού: x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1, άρα το πεδίο ορισμού είναι (-1, \infty).

Πεδίο τιμών = \mathbb{R}.

Η κατακόρυφη ασύμπτωτη είναι x = -1.

Για x = 0, έχουμε y = 2 \log_3{1} = 0.
Για x = 2, έχουμε y = 2 \log_3{3} = 2.

Έτσι, τα σημεία (0, 0) και (2, 2) είναι δύο σημεία της καμπύλης.

 

Ιδιότητες Λογαριθμικών Συναρτήσεων

Οι λογαριθμικές ιδιότητες είναι χρήσιμες για την επίλυση πιο σύνθετων λογαριθμικών συναρτήσεων:

\log{(a \cdot b)} = \log{a} + \log{b}
\log{\left(\frac{a}{b}\right)} = \log{a} – \log{b}


Μοιράσου το άρθρο:


A side profile of a woman in a russet-colored turtleneck and white bag. She looks up with her eyes closed.

“Γράψε μου παρακάτω σε ένα σχόλιο οποιαδήποτε απορία σου και θα σου απαντήσω άμεσα!”

— Χριστίνα, Μαθηματικός

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *