Τι είναι η συνάρτηση μίας μεταβλητής
Μια συνάρτηση μίας μεταβλητής είναι μια συνάρτηση στην άλγεβρα, στην οποία η έξοδος (εξαρτημένη μεταβλητή) μπορεί να γραφτεί ρητά μόνο σε όρους της εισόδου (ανεξάρτητη μεταβλητή).
Μια συνάρτηση μίας μεταβλητής συνήθως περιλαμβάνει δύο μεταβλητές – την εξαρτημένη και την ανεξάρτητη μεταβλητή. Είναι εκφρασμένη πιο καθαρά και, συνεπώς, είναι εύκολο να προσδιοριστούν οι τιμές των μεταβλητών της. Αντίθετα, μια συνάρτηση που δεν μπορεί να γραφτεί με μία μεταβλητή σε όρους της άλλης μεταβλητής ονομάζεται συνάρτηση πολλών μεταβλητών.
Μορφή της συνάρτηση μίας μεταβλητής
Σε τυπική μορφή, μπορούμε να γράψουμε μια συνάρτηση μίας μεταβλητής ως
y = f(x)
, όπου y είναι η έξοδος εκφρασμένη πλήρως σε όρους της εισόδου x .
Διαφορά μεταξύ συναρτήσεις πολλών μεταβλητών και συνάρτηση μίας μεταβλητής
Τώρα γνωρίζουμε ότι οι συναρτήσεις πολλών μεταβλητών και οι συναρτήσεις μίας μεταβλητής αντιμετωπίζονται συνήθως ως αντίθετες μεταξύ τους, καθώς η έξοδος δεν εκφράζεται καθαρά σε όρους της εισόδου σε μια συνάρτηση πολλών μεταβλητών. Μερικές φορές, μια συνάρτηση πολλών μεταβλητών μπορεί επίσης να μετατραπεί σε συνάρτηση μίας μεταβλητής με απλοποίηση. Ακολουθούν τα βασικά σημεία που επισημαίνουν τη διαφορά μεταξύ συνάρτησης πολλών μεταβλητών και συνάρτηση μίας μεταβλητής.
Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών
|
Συναρτήσεις μίας μεταβλητής |
---|---|
Μια συνάρτηση πολλών μεταβλητών περιλαμβάνει πολλές μεταβλητές, και μία από τις μεταβλητές είναι συνάρτηση των άλλων μεταβλητών. | Μια συνάρτηση μίας μεταβλητής ορίζεται ως μια συνάρτηση στην οποία η εξαρτημένη μεταβλητή μπορεί να γραφτεί ρητά σε όρους της ανεξάρτητης μεταβλητής. |
Γενική μορφή για συναρτήσεις πολλών μεταβλητών : f(x, y) = 0 | Γενική Μορφή συναρτήσεων μίας μεταβλητής: y = f(x) |
Παράδειγμα: xy + 2x – \tan(xy) + y^2 = 0 | Παράδειγμα: y = x + 2 |
Παράγωγος συνάρτησης μίας μεταβλητής
Η παραγώγιση μιας συνάρτησης μίας μεταβλητής γίνεται κανονικά, όπως η απλή παραγώγιση αλγεβρικών συναρτήσεων.
Η παραγώγιση της y = f(x) ως προς την είσοδο γράφεται ως:
Έτσι, εφαρμόζουμε τους απλούς κανόνες παραγώγισης για να βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης μίας μεταβλητής.
Παράδειγμα 1:
Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης μίας μεταβλητής y = x^2 + \sin(x) – x + 4 .
Λύση:
Για να βρούμε την παράγωγο της y = x^2 + \sin(x) – x + 4 , παραγωγίζουμε και τα δύο μέλη ως προς x .
f'(x) = 2x + \cos(x) – 1
Συνεπώς, η παράγωγος της y = x^2 + \sin(x) – x + 4 είναι f'(x) = 2x + \cos(x) – 1 .
Παράδειγμα 2:
Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης xy – y = 0 .
Λύση:
Αρχικά, εκφράζουμε τη συνάρτηση ρητά.
xy – y = 0
\Rightarrow y(x – 1) = 0
\Rightarrow y = \dfrac{1}{x – 1}
Τώρα, έχουμε εκφράσει τη συνάρτηση ρητά. Στη συνέχεια, παραγωγίζουμε και τα δύο μέλη της συνάρτησης ως προς x .
f'(x) = – \dfrac{1}{(x – 1)^2}
Συνεπώς, η παράγωγος της δεδομένης συνάρτησης είναι f'(x) = – \dfrac{1}{(x – 1)^2} .
Αφήστε μια απάντηση