Τι είναι η Ρητή Συνάρτηση;
Μια ρητή συνάρτηση είναι μια συνάρτηση που είναι ο λόγος πολυωνύμων. Οποιαδήποτε συνάρτηση μιας μεταβλητής x ονομάζεται ρητή συνάρτηση αν μπορεί να αναπαρασταθεί ως
όπου p(x) και q(x) είναι πολυώνυμα και q(x) \neq 0 .
Για παράδειγμα, η f(x) = \dfrac{x^2 + x – 2}{2x^2 – 2x – 3} είναι μια ρητή συνάρτηση, και εδώ 2x^2 – 2x – 3 \neq 0 .
Κάθε σταθερά είναι πολυώνυμο και συνεπώς οι αριθμητές μιας ρητής συνάρτησης μπορεί να είναι και σταθερές.
Όμως, οι παρονομαστές των ρητών συναρτήσεων δεν μπορούν να είναι σταθερές.
Πώς να Αναγνωρίσετε μια Ρητή Συνάρτηση;
Από τον ορισμό της ρητής συνάρτησης, αν ο αριθμητής ή ο παρονομαστής δεν είναι πολυώνυμο, τότε το κλάσμα που σχηματίζεται δεν είναι ρητή συνάρτηση.
Πεδίο Ορισμού Ρητής Συνάρτησης
Το πεδίο ορισμού μιας ρητής συνάρτησης είναι το σύνολο όλων των τιμών του x που μπορεί να λάβει η συνάρτηση. Για να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας ρητής συνάρτησης y = f(x) :
1. Θέτουμε τον παρονομαστή \neq 0 και λύνουμε ως προς x .
2. Το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών εκτός από τις τιμές του x που βρήκαμε στο πρώτο βήμα είναι το πεδίο ορισμού.
Παράδειγμα:Βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x) = \dfrac{2x + 1}{3x – 2} .
Λύση:
Θέτουμε τον παρονομαστή \neq 0 :
3x – 2 \neq 0 \implies x \neq \dfrac{2}{3} .
Συνεπώς, το πεδίο ορισμού είναι: \{x \in \mathbb{R} | x \neq \dfrac{2}{3}\} .
Σύνολο Τιμών Ρητής Συνάρτησης
Το σύνολο τιμών μιας ρητής συνάρτησης είναι το σύνολο όλων των εξόδων (τιμών y ) που παράγει η συνάρτηση. Για να βρούμε το σύνολο τιμών μιας ρητής συνάρτησης y = f(x) :
1. Αντικαθιστούμε τη f(x) με y .
2. Λύνουμε την εξίσωση ως προς x .
3. Θέτουμε τον παρονομαστή της προκύπτουσας εξίσωσης \neq 0 και λύνουμε ως προς y .
Παράδειγμα:Βρείτε το σύνολο τιμών της f(x) = \dfrac{2x + 1}{3x – 2} .
Λύση:
Αντικαθιστούμε την f(x) με y :
y = \dfrac{2x + 1}{3x – 2} .
Λύνουμε για x :
(3x – 2)y = 2x + 1
x = \dfrac{2y + 1}{3y – 2} .
Τώρα θέτουμε τον παρονομαστή \neq 0 :
3y – 2 \neq 0 \implies y \neq \dfrac{2}{3} .
Συνεπώς, το σύνολο τιμών είναι: \{y \in \mathbb{R} | y \neq \dfrac{2}{3}\} .
Ασύμπτωτες Ρητής Συνάρτησης
Μια ρητή συνάρτηση μπορεί να έχει τρεις τύπους ασύμπτωτων: κάθετες, οριζόντιες και πλάγιες ασύμπτωτες. Μπορεί επίσης να έχει κενά.
Κάθετη Ασύμπτωτη
Η κάθετη ασύμπτωτη είναι μια γραμμή της μορφής x = αριθμός, και εμφανίζεται στα σημεία όπου ο παρονομαστής της ρητής συνάρτησης είναι μηδέν, εκτός αν υπάρχει κενό εκεί.
Οριζόντια Ασύμπτωτη
Μια ρητή συνάρτηση μπορεί να έχει το πολύ μία οριζόντια ασύμπτωτη. Αυτή προκύπτει από τους βαθμούς του αριθμητή (N) και του παρονομαστή (D):
– Αν N < D , τότε υπάρχει οριζόντια ασύμπτωτη στο y = 0 .
– Αν N > D , τότε δεν υπάρχει οριζόντια ασύμπτωτη.
– Αν N = D , η οριζόντια ασύμπτωτη είναι y = λόγος των συντελεστών των κορυφαίων όρων.
Πλάγια Ασύμπτωτη
Μια πλάγια ασύμπτωτη εμφανίζεται όταν ο βαθμός του αριθμητή είναι ακριβώς ένας μεγαλύτερος από τον βαθμό του παρονομαστή.
Αφήστε μια απάντηση