Τι είναι το σύνολο τιμών;
Το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης είναι το σύνολο όλων των δυνατών εξόδων που προκύπτουν από την εφαρμογή της συνάρτησης στις τιμές του πεδίου ορισμού . Με άλλα λόγια, είναι το σύνολο των αποτελεσμάτων που μπορεί να πάρει η συνάρτηση.
Ας το κατανοήσουμε με ένα παράδειγμα.
Έστω η συνάρτηση f(x) = 3x . Για κάθε τιμή του πεδίου ορισμού (είσοδος) υπάρχει μία μοναδική τιμής στο σύνολο τιμών (έξοδος).
Δηλαδή,
για x=1 (τιμή από το πεδίο ορισμού), y=3 (αποτέλεσμα)
για x=2 (τιμή από το πεδίο ορισμού), y=6 (αποτέλεσμα)
κ.ο.κ.
Δες την παρακάτω εικόνα
Κανόνες για τον υπολογισμό του συνόλου τιμών
Ο καλύτερος τρόπος για να προσδιορίσουμε το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης είναι να μελετήσουμε το διάγραμμα της και να παρατηρήσουμε τις τιμές του y που καλύπτει το διάγραμμα. Παρακάτω δίνονται γενικοί κανόνες για τον υπολογισμό του συνόλου τιμών για κάποιες δημοφιλείς συναρτήσεις:
- Το σύνολο τιμών μιας γραμμικής συνάρτησης είναι \mathbb{R} (όλοι οι πραγματικοί αριθμοί).
- Το σύνολο τιμών μιας τετραγωνικής συνάρτησης y = a(x – h)^2 + k είναι:
- y \geq k, αν a > 0
- y \leq k, αν a < 0
- Το σύνολο τιμών μιας ριζικής συνάρτησης είναι y \geq 0.
- Το σύνολο τιμών μιας εκθετικής συνάρτησης είναι y > 0.
- Το σύνολο τιμών μιας λογαριθμικής συνάρτησης είναι \mathbb{R}.
- Για τον υπολογισμό του συνόλου τιμών μιας ρητής συνάρτησης y = f(x), λύνουμε ως προς x και εξασφαλίζουμε ότι ο παρονομαστής δεν είναι μηδέν.
Ας δούμε μερικά παραδείγματα
Παράδειγμα 1: Για να υπολογίσουμε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f(x) = 2(x – 3)^2 – 5, εφαρμόζουμε τον κανόνα για τις τετραγωνικές συναρτήσεις. Το σύνολο τιμών είναι y \geq -5, ή αλλιώς [-5, \infty).
Παράδειγμα 2: Για να βρούμε το σύνολο τιμών της συνάρτησης g(x) = \ln(2x – 3) + 4, εφαρμόζουμε τον κανόνα για τις λογαριθμικές συναρτήσεις. Το σύνολο τιμών είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών, δηλαδή \mathbb{R}.
Αφήστε μια απάντηση