Ποια είναι η παράγουσα lnx
Η παράγουσα (ή αρχική συνάρτηση) της \ln(x) είναι η συνάρτηση που προκύπτει από την ολοκλήρωση της \ln(x). Δηλαδή, ψάχνουμε μια συνάρτηση F(x) τέτοια ώστε το παράγωγό της να είναι \ln(x).
Για να βρούμε την παράγουσα της \ln(x), ακολουθούμε τα εξής βήματα:
\int \ln(x) \, dx
Για να υπολογίσουμε αυτό το ολοκλήρωμα, χρησιμοποιούμε την μέθοδο ολοκλήρωσης κατά παράγοντες. Ο γενικός τύπος για την ολοκλήρωση κατά παράγοντες είναι:
\int u \, dv = u v – \int v \, du
Ορισμός των μερών:
Επιλέγουμε:
– u = \ln(x), που συνεπάγεται du = \dfrac{1}{x} dx
– dv = dx, που συνεπάγεται v = x
Εφαρμογή της μεθόδου:
Εφαρμόζοντας τον τύπο της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες:
\int \ln(x) \, dx = x \ln(x) – \int x \cdot \dfrac{1}{x} \, dx
Το δεύτερο ολοκλήρωμα γίνεται απλό:
= x \ln(x) – \int 1 \, dx
= x \ln(x) – x + C
Τελικό αποτέλεσμα:
Η παράγουσα της lnx είναι:
\int \ln(x) \, dx = x \ln(x) – x + C
όπου C είναι η σταθερά ολοκλήρωσης.
Παράδειγμα:
Ας υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα της συνάρτησης \ln(2x).
1. Χρησιμοποιούμε τον κανόνα αλλαγής μεταβλητής:
\int \ln(2x) \, dx
Ας θέσουμε y = 2x, οπότε dy = 2dx, δηλαδή dx = \dfrac{dy}{2}.
Άρα το ολοκλήρωμα γίνεται:
\int \ln(y) \cdot \dfrac{dy}{2} = \dfrac{1}{2} \int \ln(y) \, dy
2. Τώρα, χρησιμοποιούμε τον γνωστό τύπο για την παράγουσα της \ln(y):
= \dfrac{1}{2} \left( y \ln(y) – y \right) + C
3. Τέλος, αντικαθιστούμε το y = 2x:
= \dfrac{1}{2} \left( 2x \ln(2x) – 2x \right) + C
= x \ln(2x) – x + C
Αυτό είναι το αποτέλεσμα για την παράγουσα της \ln(2x).
Αφήστε μια απάντηση