Ποιο είναι το Θεώρημα Rolle
Το θεώρημα Rolle αναφέρει ότι “Αν μία συνάρτηση f ορίζεται στο κλειστό διάστημα [a, b] με τέτοιο τρόπο ώστε να ικανοποιεί τις εξής προϋποθέσεις:
- η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [a, b] ,
- η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ανοιχτό διάστημα (a, b) ,
- f(a) = f(b) ,
τότε υπάρχει τουλάχιστον μία τιμή του x , ας θεωρήσουμε ότι αυτή η τιμή είναι c , η οποία ανήκει στο διάστημα (a, b) , έτσι ώστε f'(c) = 0 .”
Μαθηματική Διατύπωση του Θεωρήματος Rolle:
Αν f : [a, b] \to \mathbb{R} είναι συνεχής στο [a, b] και παραγωγίσιμη στο (a, b) με f(a) = f(b) , τότε υπάρχει μία τιμή c στο (a, b) τέτοια ώστε f'(c) = 0 .
Γεωμετρική Ερμηνεία του Θεωρήματος Rolle
Στο παρακάτω διάγραμμα, η καμπύλη y = f(x) είναι συνεχής ανάμεσα στις τιμές x = a και x = b και σε κάθε σημείο στο διάστημα αυτό μπορεί να σχεδιαστεί μία εφαπτομένη γραμμή. Εφόσον οι τιμές των τεταγμένων αντιστοιχούν στις ίδιες τιμές των τετμημένων a και b , υπάρχει τουλάχιστον μία εφαπτομένη στην καμπύλη η οποία είναι παράλληλη στον άξονα x .

Αλγεβρικά, το θεώρημα αυτό μας λέει ότι αν η f(x) είναι μια πολυωνυμική συνάρτηση στο x και οι δύο ρίζες της εξίσωσης f(x) = 0 είναι x = a και x = b , τότε υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα της εξίσωσης f'(x) = 0 μεταξύ αυτών των τιμών. Αντίστροφα, το θεώρημα Rolle δεν ισχύει, και μπορεί να υπάρχουν περισσότερες από μία τιμές του x για τις οποίες το θεώρημα ισχύει, αλλά είναι βέβαιο ότι υπάρχει τουλάχιστον μία τέτοια τιμή.
Παράδειγμα:
Έστω η συνάρτηση f(x) = x^2 – 4x + 3 στο διάστημα [1, 3] . Θα δείξουμε ότι η συνάρτηση ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle και θα βρούμε την τιμή c στο διάστημα (1, 3) για την οποία f'(c) = 0 .
Βήμα 1: Έλεγχος των συνθηκών του Θεωρήματος Rolle
- Συνέχεια: Η συνάρτηση f(x) = x^2 – 4x + 3 είναι πολυωνυμική, άρα συνεχής σε όλο το διάστημα [1, 3] .
- Παραγωγισιμότητα: Η f(x) είναι επίσης παραγωγίσιμη στο ανοιχτό διάστημα (1, 3) , καθώς οι πολυωνυμικές συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες παντού.
- Ίσες τιμές στα άκρα: Υπολογίζουμε τις τιμές της f στα άκρα του διαστήματος:
Άρα, f(1) = f(3) = 0 .
Επομένως, η συνάρτηση f(x) = x^2 – 4x + 3 ικανοποιεί όλες τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle.
Βήμα 2: Εφαρμογή του Θεωρήματος Rolle
Σύμφωνα με το Θεώρημα Rolle, υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο c στο διάστημα (1, 3) για το οποίο f'(c) = 0 .
Υπολογίζουμε την παράγωγο της f(x) :
f'(x) = 2x – 4Θέτουμε f'(c) = 0 :
2c – 4 = 0
\Rightarrow 2c = 4
Απάντηση
Η τιμή c = 2 ανήκει στο διάστημα (1, 3) και ικανοποιεί την σχέση f'(c) = 0 .
Συμπέρασμα: Σύμφωνα με το Θεώρημα Rolle, η τιμή c = 2 είναι το σημείο στο διάστημα (1, 3) στο οποίο η παράγωγος της συνάρτησης f(x) = x^2 – 4x + 3 είναι ίση με μηδέν, δηλαδή f'(2) = 0 .
Αφήστε μια απάντηση