Υπολογισμός τριγωνομετρικών αριθμών

Η εύρεση τριγωνομετρικών αριθμών όπως το ημίτονο, το συνημίτονο και η εφαπτομένη μιας γωνίας μπορεί να πραγματοποιηθεί με τη βοήθεια του μοναδιαίου τριγωνομετρικού κύκλου, εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Σκεπτικό:

Φανταστείτε ένα ορθογώνιο τρίγωνο τοποθετημένο σε έναν μοναδιαίο κύκλο στο καρτεσιανό επίπεδο. Σε αυτόν τον κύκλο, η ακτίνα του έχει μήκος 1 και θεωρούμε ότι σχηματίζει μία γωνία \theta με τον θετικό άξονα x.

Στο τέλος της ακτίνας, το σημείο τομής με τον κύκλο έχει συντεταγμένες (x, y), όπου:

  • Το x αντιπροσωπεύει το μήκος της βάσης του τριγώνου,
  • Το y αντιπροσωπεύει το ύψος του τριγώνου,
  • Η ακτίνα r = 1 αποτελεί την υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου.

Υπολογισμός Τριγωνομετρικών Αριθμών

Πως γίνεται όμως ο υπολογισμός τριγωνομετρικών αριθμών;

Εφόσον το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και εφαρμόζεται το Πυθαγόρειο θεώρημα, ισχύει:

x^2 + y^2 = 1^2

Ταυτόχρονα, οι τριγωνομετρικές σχέσεις προκύπτουν ως εξής:

  • Ημίτονο της γωνίας \theta: το ύψος του τριγώνου πάνω στον άξονα y,
    δηλαδή y = \sin(\theta).
  • Συνημίτονο της γωνίας \theta: η βάση του τριγώνου πάνω στον άξονα x,
    δηλαδή x = \cos(\theta).
  • Εφαπτομένη της γωνίας \theta: το πηλίκο y/x,
    δηλαδή \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}.

Χρησιμοποιώντας τον μοναδιαίο κύκλο, οι συντεταγμένες του σημείου τομής (x, y) για τη γωνία \theta αποκαλύπτουν τις τιμές των τριγωνομετρικών αριθμών αυτής της γωνίας.

Ας το κατανοήσουμε καλύτερα με ένα παράειγμα.

Πάραδειγμα:

Βρείτε το ημίτονο και το συνημίτονο της γωνίας 25°.

ημίτονο 25 μοίρες

  • ημ25°= \dfrac{\text{ύψος}}{\text{υποτείνουσα}}=\dfrac{0.42262}{1} = 0.42262
  • συν25°= \dfrac{\text{βάση}}{\text{υποτείνουσα}}=\dfrac{0.90631}{1} = 0.90631

A side profile of a woman in a russet-colored turtleneck and white bag. She looks up with her eyes closed.

“Γράψε μου παρακάτω σε ένα σχόλιο οποιαδήποτε απορία σου και θα σου απαντήσω άμεσα!”

— Χριστίνα, Μαθηματικός

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *