Υπολογισμός τριγωνομετρικών αριθμών

Η εύρεση τριγωνομετρικών αριθμών όπως το ημίτονο, το συνημίτονο και η εφαπτομένη μιας γωνίας μπορεί να πραγματοποιηθεί με τη βοήθεια του μοναδιαίου τριγωνομετρικού κύκλου, εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Σκεπτικό:

Φανταστείτε ένα ορθογώνιο τρίγωνο τοποθετημένο σε έναν μοναδιαίο κύκλο στο καρτεσιανό επίπεδο. Σε αυτόν τον κύκλο, η ακτίνα του έχει μήκος 1 και θεωρούμε ότι σχηματίζει μία γωνία \theta με τον θετικό άξονα x.

Στο τέλος της ακτίνας, το σημείο τομής με τον κύκλο έχει συντεταγμένες (x, y), όπου:

• Το x αντιπροσωπεύει το μήκος της βάσης του τριγώνου,
• Το y αντιπροσωπεύει το ύψος του τριγώνου,
• Η ακτίνα r = 1 αποτελεί την υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου.

Όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα ⬇️

Πως γίνεται όμως ο υπολογισμός τριγωνομετρικών αριθμών;

Εφόσον το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και εφαρμόζεται το Πυθαγόρειο θεώρημα, ισχύει:

x^2 + y^2 = 1^2

Ταυτόχρονα, οι τριγωνομετρικές σχέσεις προκύπτουν ως εξής:

• Ημίτονο της γωνίας \theta: το ύψος του τριγώνου πάνω στον άξονα y,
  δηλαδή y = \sin(\theta).
• Συνημίτονο της γωνίας \theta: η βάση του τριγώνου πάνω στον άξονα x,
  δηλαδή x = \cos(\theta).
• Εφαπτομένη της γωνίας \theta: το πηλίκο y/x,
  δηλαδή \tan(\theta) = \dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}.

Χρησιμοποιώντας τον μοναδιαίο κύκλο, οι συντεταγμένες του σημείου τομής (x, y) για τη γωνία \theta αποκαλύπτουν τις τιμές των τριγωνομετρικών αριθμών αυτής της γωνίας.

Ας το κατανοήσουμε καλύτερα με ένα παράειγμα.

Πάμε τώρα να δούμε και ένα αντίστροφο παράδειγμα